皮亚诺曲线,盘点数学界的那些神奇定论

文章作者:蓝色鸢尾 | 2016-03-07
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        皮亚诺曲线是一个曲线序列的极限,是一个能够填满正方形的曲线,皮亚诺曲线是一个不可导的曲线,在数学上有一定的应用,因为在一般的情况下,一维的线是无法填满二维的方格的,但是皮亚诺曲线却解决了这个问题,这说明我们对维数的认识是有缺陷的,有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中, 维数可以是分数叫做分维。这个定论的证实使得我们必须重新认识维度在数学上的应用,这也是数学知识的神奇之处,除了皮亚诺曲线,在数学上还有很多神奇的定论,这些定论的存在说明了数学知识的神奇之处,本文将为大家详细的进行介绍。

皮亚诺曲线

数学定理的神奇之处

        学习过数学的人应该都知道,数学对于一部分的人来说,可是说是非常的神奇的,因为很多人无法理解数学的神奇之处,但是数学的魅力所在是无法磨灭的,并且对于一些数学曲线来说,根据特定的数学规律来进行演算,能够很好的表现出神奇的曲线特征,比如说双曲线、皮亚诺曲线、阿基米德螺旋线等,都是数学定理的演算情况下出现的一种特征性曲线,这也是数学定理的神奇之处。

皮亚诺曲线的观点所在

        1890年,意大利数学家皮亚诺(Peano G)发明能填满一个正方形的曲线,叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0,1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上,正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)和y=g(t),使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来,希尔伯特作出了这条曲线。

皮亚诺曲线
        “1872年,康托在一篇文章中,用一章的篇幅专门讨论实数问题,特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标,在不预先假定无理数存在的条件下,建立一个令人满意的无理数理论。显然,全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。从集合论的观点来看,由于数的序列对应的是数的集合,而不是数元素本身,即使形如只有一个元素的序列对应的也应该是一个数的集合。上面对有理数的定义显然构造了一个包含自指的集合:数a等于一个集合,这个集合中有一个元素,就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。
        有一点需要明确一下,就是无穷序列的构造过程以及对无穷序列取极限的过程的关系。我们已经知道[0,1]区间中有理数有可数无穷多个,可以用一个递归的无穷过程来产生这些有理数;而[0,1]区间中的无理数都是有理数集合的极限点。但有理数集和无理数集显然是不一样的。这就是说,构造有理数集的无穷过程并不包括取极限的过程,不能认为取极限的过程一定包含在无穷过程中。否则,按第一节的论述,对无理数的定义将包含罗素悖论。事实上,许多宣称找到了实数可数证据的例子都是犯了认为无穷过程一定包含取极限过程的错误。

皮亚诺曲线
        另外,可以用反证法证明,希尔伯特曲线并没有建立一种从曲线到平面的一一对应关系。假设曲线的坐标区间为[0,1](即假设曲线的长度为1),并对于正方形中位线y轴上的某一点p,有曲线上的数x属于[0,1]映射到p点。由于希尔伯特曲线是左右对称的,则立即可以得到数(1-x)也映射到p点。又由于这种映射是一一映射,所以有x=1-x=1/2,即与1/2对应的是y轴上的一条线段,这与前面的一一对应假设矛盾。
        这种观点指出,在康托用有理数的基本序列去定义实数中,实数域中的一个有理数a按定义等于序列,这实际上构造了一个包含自指的集合:数a等于一个集合,这个集合中有一个元素,就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子,指出它们实际上也包含了上述悖论。

盘点数学上的其他曲线及定理

        上面也已经说到了数学上存在的一些数学定理,这些定理的存在也证明了数学的神奇所在,并且数学定理在很多方面都有非常广泛的应用,涵盖了人类生活的方方面面,比如说在宇宙探索中,就需要用到大量的数学定理去进行演算,并且通过这些演算来进行结果的论证,再比如说在某些生活中存在的物件,都是通过数学的定理来进行设计的,因为只有根据科学的设计才能制造出非常合适的产品。

阿基米德螺旋曲线

阿基米德螺旋曲线

        阿基米德螺线 ,亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r = aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。

斐波那契螺旋线

        斐波那契螺旋线,也称“黄金螺旋”,是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案。是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线,以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形,然后在正方形里面画一个90度的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。斐波那契数列,又称为黄金分割数列。在数学上,斐波那契数列是以递归的方法来定义。

渐开线

渐开线

        渐伸线(或称渐开线)和渐屈线是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。在曲线上只有一条渐屈线。)直线在圆上纯滚动时,直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线,该圆称为渐开线的基圆,直线称为渐开线的发生线。 渐开线的形状仅取决于基圆的大小,基圆越小,渐开线越弯曲;基圆越大,渐开线越平直;基圆为无穷大时,渐开线为斜直线。

数学摆线

        摆线是数学中众多的迷人曲线之一.它是这样定义的:一个圆沿一直线缓慢地滚动,则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线,圆上定点的初始位置为坐标原点,定直线为x轴。当圆滚动j 角以后,圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周,即 j从O变动2π时,动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周, 动圆上定点描画出第二拱,继续滚动,可得第三拱,第四拱……,所有这些拱的形状都是完全相同的 ,每一拱的拱高为2a(即圆的直径),拱宽为2πa(即圆的周长)。

悬链线

悬链线

        悬链线是一种曲线,因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数。久负盛名的雅各布•伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质(即方程)的问题。实际上,该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线,但问题一直悬而未决。雅各布觉得,应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

割圆曲线

        割圆曲线是在研究古代三大尺规作图问题时的一种数学成果,其发现者为希庇亚斯,若想作一正方形面积为一半径为AM(M为割圆曲线于边AB交点)的圆的面积,只需作一割圆曲线(如上图),再作出一边长为AM与2AB的矩形,则该矩形面积为半径为AM的圆的面积。再求出AM与2AB的几何平均数√(AM•2AB),则以此为边的正方形的面积即为半径为AM的圆的面积。

蛋圆曲线

蛋圆曲线

        正劈锥面被平面所截的交线投影即得平面蛋圆曲线,方程式为 x^2/a^2 + y^2 / (ky + b)^2 = 1, 绝对值k小于1。

蝴蝶曲线

        蝴蝶曲线是一种很美的平面上代 数曲线,通过一个特定的极坐标公式可以表达。用很多代数曲线和超越曲线可以表达自然界很多现象,蝴蝶曲线就是一种,变量Θ的调整可以改变曲线形状及其方向。

玫瑰线

        世界上第一个明确提出经纬度理论的人是古希腊学者托勒密。最早的本初子午线则出现在15世纪出版的托勒密的世界地图上,定在了当时人们心中的世界起点,即现大西洋中非洲西北海岸附近的加那利群岛。

反雪花曲线

反雪花曲线

        生成一条雪花曲线是从一个等边三角形开始的.把三角形的每条边等分成三段并在中间的一段向内作小的等边三角形,但删去新三角形位于旧三角形边上的底.继续这个程序,对每个等边三角形的边再等分成三段,并在中段向内作更小的等边三角形,如此等等,雪花曲线就是在不断重复这样的过程中产生的。

蔓叶线

        这曲线的发现是为了解决倍立方问题。蔓叶线的英文名字「Cissoid」是曲线发现了100年后《Geminus》中出现的,意为「像常春藤的」。

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