世界七大数学难题,百万美元悬赏

文章作者:思远 | 2016-05-16
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还记得被誉为“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜吗?这困扰了人类200多年的数学谜题,另无数数学家为之疯狂。另外,庞加莱猜想这个被称为21世纪七大数学难题之一,最后由两位来自中国的数学家完成了最后的攻坚。这是中国人对数学界的重大贡献之一。前有陈景润攻坚哥德巴赫猜想、后有朱熹平、曹怀东破解庞加莱猜想。但在此之外,诸如世界七大数学难题,它们就像一道道亮丽的风景,吸引着世界各国的数学家的注意。那么,世界七大数学难题究竟有哪些呢?

世界七大数学难题相关介绍

1、世界七大数学难题有哪些

这七个“世界难题”是:NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。这七个问题都被悬赏一百万美元。

2、23个数学难题

数学大师大卫·希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧,指引数学前进的方向,其对数学发展的影响和推动是巨大的,无法估量的。

20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决, 如费马大定理的证明,有限单群分类工作的完成等, 从而使数学的基本理论得到空前发展。

2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”,克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。

克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定,其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向, 而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。

3、世界七大数学难题的由来

2000年5月24日,千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上,97年菲尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲,其后,塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的详述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可,才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。

其中有一个已被解决(庞加莱猜想,由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解),还剩六个。

世界七大数学难题:NP完全问题

1、NP完全问题简介

NP就是Non-deterministic Polynomial的问题,也即是多项式复杂程度的非确定性问题。

假设P ≠ NP的图解。若P = NP则三类相同。

假设P ≠ NP的图解。若P = NP则三类相同。

而如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题,那么这个NP问题就称为NP完全问题(Non-deterministic Polynomial complete problem)。NP完全问题也叫做NPC问题。

2、NP完全问题的描述

例:在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现宴会的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13717421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。

人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

3、NP完全问题的解决

人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题存在一个确定性算法,可以在多项式时间内直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。解决这个猜想,无非两种可能,一种是找到一个这样的算法,只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法,所有这类问题都可以迎刃而解了,因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能,就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。

4、NP完全问题最新情况

2010年8月6日,HP LAB的 Vinay Deolalikar 教授宣布证明了P!=NP,证明文章已经发送到该问题各相关领域专家手中,等待检验,在他的主页上,证明过程已经公布(PDF格式共103页),但在8月15日,人们关于论文的看法——即证明不能成立——已经趋于稳定(当然这不能排除大家都同时犯了错误的可能性),随后的发言越来越多地集中于更抽象的层面,并且至今仍在继续。

世界七大数学难题:霍奇猜想

1、霍奇猜想简介

霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现,他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述,这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。

2、霍奇猜想的描述

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

3、霍金猜想的解决

黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题被称为21世纪七大数学难题。2000年5月,美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。目前,这一难题仍没有被破解。

对于(1,1)类的霍奇猜想已经在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz证明。换句话说,霍奇猜想对于H^2成立。实际上,这是霍奇提出其猜想的动机之一。除此以外,还成立以下定理:如果霍奇猜想对于度数p的霍奇类成立,其中p<n,n是上述射影代数簇的维数,那么对于度数为2n-p的霍奇类,霍奇猜想也成立。

世界七大数学难题:庞加莱猜想

1、庞加莱猜想简介

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

2、庞加莱猜想的证明

在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后,先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。原文地址:http://www.ufo-1.cn/article/201605/979.html

2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

3、庞加莱猜想比喻

我们想象这样一个房子,这个空间是一个球。或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们在这样的球形房子里。拿一个气球来,带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。

这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破。还要假设,这个气球的皮是无限薄的。好,接着我们继续吹大这个气球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。

看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

世界七大数学难题:黎曼假设

1、黎曼假设简介

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2、3、5、7……等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

2、黎假设的背景

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的制高点,其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。

3、黎曼猜想的描述

与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远,但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。目前有消息指尼日利亚教授奥派耶米伊诺克(OpeyemiEnoch)成功解决黎曼猜想,然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。

历史上关于黎曼猜想被证实的闹剧时常传出,近日所谓黎曼猜想被尼日利亚籍教授证明的网文中并没有说明克雷数学研究所已经承认并授予奖金,克雷数学研究所官网目前并无任何表态,而学界专业评价趋于消极。

4、黎曼猜想的解决

据英国《每日邮报》11月17日报道,近日,尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想,获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出,其中涉及了素数的分布,被认为是世界上最困难的数学题之一。2000年,美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。

自从费马大定理于20世纪90年代得以解决后,黎曼问题便成为数学界最著名、最受争议的问题。该问题中最简单的部分在于其中所有质数的分布并不遵循规律。伊诺克博士在尼日利亚某大学任教。他表示,自己在2010年取得关键性突破,这为后来能够解决这一千年难题奠定了基础。他说,自己之所以决定解决这一著名的数学难题不是为了奖金,而是因为自己的学生。正是因为学生们相信自己,他才开始尝试解决这一数学难题。

然而,克莱数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题,只是简单表示对这些千年数学难题的解决办法不予评论。

世界七大数学难题:黎曼假设之否认

其实虽然因素数分布而起,但是却是一个歧途,因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们,素数与伪素数由它们的变量集决定的。

世界七大数学难题:杨-米尔斯存在性和质量缺口

1、杨-米尔斯存在性和质量缺口介绍

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

2、赵庸民介绍

2013年4月17日,韩国建国大学宣布,该校赵庸民教授数学(物理学)研究组破解出了世界七大数学难题中的“杨-米尔斯存在性和质量缺口假设(Yang-Mills and Mass Gap)”(杨-米尔斯理论)一题。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙以及统一场领域的理论物理学家。

世界七大数学难题:纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

 

1、纳卫尔-斯托可方程的意义

它们是最有用的一组方程之一,因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于建模天气,洋流,管道中的水流,星系中恒星的运动,翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计,血液循环的研究,电站的设计,污染效应的分析,等等。

方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用,能告诉我们液体有多粘。这样,纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡,这在流体力学中有十分重要的意义。

2、纳卫尔-斯托可方程的奥秘

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

3、纳卫尔-斯托可方程的描述

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程,和代数方程不同,

不寻求建立所研究的变量(譬如速度和压力)的关系,而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲,这些变化率对应于变量的导数。这样,最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度(速度的导数,或者说变化率)是和内部压力的导数成正比的。 这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上,只有最简单的情况才能用这种方法解答,而它们的确切答案是已知的。这些情况通常设计稳定态(流场不随时间变化)的非湍流,其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小(小的雷诺数)。

对于更复杂的情形,例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力,纳维?斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域,称为计算流体力学。虽然湍流是日常经验中就可以遇到的,但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立,奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

世界七大数学难题:BSD猜想

1、BSD猜想陈述

数学家总是被诸如  那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反,如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

2、BSD猜想

给定一个整体域上的阿贝尔簇,猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数,且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。前半部分通常称为弱BSD猜想。BSD猜想是分圆域的类数公式的推广。格罗斯提出了一个细化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的对于motif的Bloch-Kato猜想。

2、BSD猜想推论

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西尔维斯特等很多猜想。其中最著名的是与同余数问题的关系,从BSD猜想可以推出模8余5,6,7的平方自由的正整数一定可以成为某个有理边长直角三角形的面积。

结语:以上就是数学界千年谜题,这些问题公布以来一直都被人广泛关注,尤其是全球的数学家们。数学界重大问题的突破,每次也会给社会其他科学带来突破。对于数学界的这种世纪难题的研究已经成为一种文化交流,不少国家的数学家正在组织联合攻关,希望中国的数学家也可以奉献自己的一份力量。

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